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数学基础#

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数与代数式#

实数(real number)分类#

实数（英语：real number）

是有理数和无理数的总称，实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴填满。但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全域。实数和虚数共同构成复数。

实数的分类如下：

  • 有理数(Rational number)：可以用分数表示的数
    • 整数(Integer)：比如：\(100\),\(\frac {10}{2}\)
    • 分数(Fraction)：比如：\(\frac {1}{3}\),\(\frac {2}{3}\)
  • 无理数(Irrational number)：无法用分数表示,比如：\(\sqrt{2}\),\(\pi\)

幂运算(exponentiation)#

\[ a^m \times a^n = a^{m+n}\\ a^m \div a^n = a^{m-n}\\ (a^m)^n = a^{n \times m}\\ x^0 = 1 \quad \text{where} \quad x \neq 0\\ x^{-3} = \frac {1}{x^3} \]

代数式(Algebraic expression)#

代数式（英语：Algebraic expression）

是指用基本的运算符号，例如加、减、乘、除、乘方、开方等，把数或表示数字的字母连起来的式子，即用字母表示常数或变量的表达式，其中也可包含数字。

代数式分类如下：

  • 有理式(Rational expression): 根号中没有字母的式子
    • 整式(Integral expression):
      • 单项式(Monomial): 比如：\(2a\),\(\frac {a}{2}\)
      • 多项式(Polynomial): 包含加减运算，比如：\(1+a\)
    • 分式(Fractional expression):分母有字母称为分式。比如：\(\frac {3}{a+2} + 10\),\(\frac {a+2}{b-2}\)
  • 无理式(Irrational expression): 如果代数式中含有表达式的开方运算，而开方中又含有字母，则此代数式就叫做这些字母的无理代数式，简称无理式 。比如：\(\sqrt{2+a}\),\(\sqrt{a^2}\)

Warning

无理式与无理数是两个不同的概念，不要混淆。

代数式分类

习题：代数式化简

\[ 2\sin 60^\circ + \left|\sqrt{3} - 2\right| + \left(-1\right)^{-1} - \sqrt[3]{-8}\\ 2 \times \frac{\sqrt 3}{2} + 2 - \sqrt 3 - 1 + 2\\ \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 - 1 + 2\\ 3 \]

习题：代数式化简

\[ (2019 - \pi)^0 - 2\sin 30^\circ + \sqrt{12} + (- \frac{1}{2})^{-3}\\ 1-2 \times \frac{1}{2} \]

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